Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域是R，且f（x）=f（1-x），當0≤x≤

1

2

時，f（x）=x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的解析式；
（3）求方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質可得：f（-x）=-f（x），結合f（x）=f（1-x），我們易得函數(shù)
f（x）是周期函數(shù)；
（2）由當0≤x≤

1

2

時，f（x）=x-x²．根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，及f（x）=f（1-x），及（1）中的結論，即可求出求
f（x）在區(qū)間[1，2]上的解析式；
（3）根據(jù)（1）的結論，根據(jù)函數(shù)零點的判斷方法，結合函數(shù)圖象即可得到方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的個數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x），
又∵f（x）=f（1-x），
∴-f（-x）=f（1-x），
即f（x）=-f（x-1），
則f（x-2）=-f[（x-1）-1]=f（x）
故f（x）為周期函數(shù)，且T=2
（2）當

1

2

≤x≤1時，0≤1-x≤

1

2

則f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=-x²+x=f（x）
即0≤x≤1時，f（x）=-x²+x
當-1≤x≤0時，0≤-x≤1
則f（-x）=-（-x）²+（-x）=-f（x）
即f（x）=x²+x
當1≤x≤2時，-1≤x-2≤0
f（x-2）=（x-2）²+（x-2）=x²-3x+2=f（x）
即f（x）=x²-3x+2，（1≤x≤2）
（3）由（2）的結論，我們畫出函數(shù)y=f（x）與y=log₁₀₀₀₀x的圖象如下圖所示：

由圖可知，兩個函數(shù)的圖象共有9個交點，故方程f（x）=log₁₀₀₀₀x共有9個根

點評：本題解析的關鍵點是根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式，若已知函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的解析式，求對稱區(qū)間[-b，-a]上的解析式，一般步驟為：取區(qū)間上任意一個數(shù)，即x∈[-b，-a]，則-x∈[a，b]，由區(qū)間[a，b]上的解析式，寫出f（-x）的表達式，根據(jù)奇函數(shù)f（-x）=-f（x）（偶函數(shù)f（-x）=f（x））給出區(qū)間[-b，-a]上函數(shù)的解析式．