Question

知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

試題分析：（1）由離心率為可得到一個(gè)關(guān)于的方程，再根據(jù)MB₁⊥MB₂即可得；（2）本題采用“設(shè)而不求”的方法，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)這個(gè)性質(zhì),從而由斜率著手，以韋達(dá)定理為輔助工具，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析：（1）由得
又,知是等腰直角三角形，從而.
所以橢圓C的方程是.                                  5分
（2）設(shè)，直線AB的方程為
由得，
所以 ①，②                       8分
若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，
所以
設(shè)，則有，                                 10分
將代入上式，整理得，
將①②代入得，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.
綜上，存在定點(diǎn)，使平分PM平分∠APB.                       13分