Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點，AC與BD相交于點E，GC，GD是圓O的切線，點F在DG的延長線上，且.求證：（1）D、E、C、F四點共圓；（2）.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查四點共圓問題，線線垂直的證明，考查學生的轉化與化歸能力.第一問，利用切線的性質得出，，利用圓心角和圓周角的關系得出，，通過角之間轉化得出，所以四點共圓；第二問，通過邊長相等，確定四點所在圓的圓心為，利用半徑相等得出在等腰三角形，所以，通過角之間的轉化，證出，所以．  
試題解析：（Ⅰ）如圖，連結，，則，，
設，，，
，．
所以．                    …3分
因為，所以．
又因為，
所以，所以四點共圓．           …5分

（Ⅱ）延長交于．
因為，所以點是經過四點的圓的圓心．
所以，所以．                       …8分
又因為，，
所以，所以，
所以，即．                          …10分