Question

【題目】已知二次函數為常數, 的一個零點是,函數是自然對數的底數, 設函數．

（1）過點坐標原點作曲線的切線, 證明切點的橫坐標為；

（2）令,若函數在區間上是單調函數, 求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意可得,再化簡,求導結合導數的幾何意義求解證明；（2）化簡求導得,再令從而由的正負確定函數的正負,進而確定的正負,得到的單調性,從而求解．

試題解析：解：（1）是二次函數的一個零點，。

設切點為則切線的斜率。

整理得顯然，是這個方程的解。

上是增函數，

則方程有唯一實數解，故

則

，

設

則

易知在上是減函數，從而．

①當即時，在區間上是增函數．

在上恒成立，即在上恒成立．

在區間上是減函數。則滿足題意．

②當，即時，設函數的唯一零點為，

則在上遞增，在上遞減。

在內有唯一一個零點，

當時，,當遞增，與在區間上是單調函數矛盾。

不合題意．

綜合①②得，即的取值范圍是．