Question

（2013•閘北區(qū)二模）某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”．現(xiàn)測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．
（1）請指出所有互為異面的且相互垂直的“梁”，并說明理由；
（2）若不計糧倉表面的厚度，該糧倉可儲存多少立方米糧食？

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得出；
（2）利用線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式即可得出．

解答：解：（1）EF與AD，EF與BC，DE與BF，AE與CF，
由已知EF∥AB，
∵AB⊥AD，∴EF⊥AD．
同理，有EF⊥BC．
過點E作EK∥FB交AB點K，則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，
∵DE=FB=4，AK=2×（4cos60°）=4，DK=4

2

，
∴∠DEK=90°，即DE⊥BF，
同理AE⊥CF．
（2）過點E分別作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，連接MN，則AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，
過點E作EO⊥MN于點O，則EO⊥平面ABCD
由題意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=2

3

，
∴O為MN中點，
∴EO=2

2

即四棱錐E-AMND的高，
同理，再過點F作FP⊥AB于點P，ENFQ⊥CD于點Q，連接PQ，
原多面體被分割為兩個全等的四棱錐和一個直棱柱，且MP=16-2-2=12，
∴V多面體=2V四棱錐+V直棱柱=2×

1

3

×(2×4)×2

2

+(

1

2

×4×2

2

)×12=

176 2

3

，
答：該糧倉可儲存

176 2

3

立方米的糧食．

點評：熟練掌握平行線的性質(zhì)、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式是解題的關(guān)鍵．