Question

若函數f（x）=x³-ax²+（a-1）x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，這是一道求函數的單調性的逆向思維問題．本題的關鍵是比較極值和端點處的函數值的大小，分類討論解題一目了然，從而確定出a的范圍．
解答：解：函數f（x）的導數f′（x）=x²-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
當a-1≤1，即a≤2時，函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，不合題意．
當a-1＞1，即a＞2時，函數f（x）在（-∞，1）上為增函數，
在（1，a-1）內為減函數，在（a-1，+∞）上為增函數．
依題意應有
當x∈（1，4）時，f′（x）＜0，
當x∈（6，+∞）時，f′（x）＞0．
所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
所以a的取值范圍是[5，7]．
點評：本題考查了利用導數就函數的單調區間，以及求函數的單調性的逆向思維問題．