Question

【題目】已知圓C：，直線過定點.

（1）若與圓相切，求的方程；

（2）若與圓相交于兩點，線段的中點為，又與的交點為，判斷是否為定值.若是，求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），;（2）是定值，且為6．

【解析】

試題（1）設過定點，斜率存在或斜率不存在兩種情況，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程;（2）解法一：設直線線方程為，與聯立求交點,又直線CM與垂直，由聯立求交點,求，并化簡;解法二：也可利用直線與圓相交，聯立方程，利用求中點;解法三：數形結合，利用相似三角形，將轉化為定值．

試題解析：（1）解：①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意

②若直線斜率存在，設直線為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，即：，

解之得。

所求直線方程是，。

（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，

且不為0,可設直線方程為

由得．

又直線CM與垂直，由得

為定值。 故是定值，且為6。

解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為。

由得．

再由得．

∴得．

以下同解法一．

解法三：用幾何法，

如圖所示，△AMC∽△ABN，則，

可得，是定值．