Question

【題目】已知函數，其中常數．

（Ⅰ）當，求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）設定義在上的函數在點處的切線方程為， 若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”，當時，試問是否存在“類對稱點”，若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為；（Ⅱ）當時，函數存在“類對稱點”．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，結合的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）法一： 時，求出的導數，得到切線方程根據新定義問題等價于當時， ，結合函數的單調性求出即可；法二：猜想存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為，然后加以證明即可.

試題解析：（Ⅰ）解 函數的定義域為，因為

所以， 因，

由，即得或， 由得；

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為；

（Ⅱ）解法一：當時，

所以在點處的切線方程為

令

則

易知；

又=0

則

當時， ，令，則，所以函數在上單調遞減，所以當時， ，從而有時， ；

當時， ，令，則，所以在上單調遞減，所以當時， ，從而有時， ；

所以當時，函數不存在“類對稱點”。 ……11分

當時， ，所以在上是增函數，

當時， ，

當時， ，

故恒成立

所以當時，函數存在“類對稱點”.

（Ⅱ）解法二

當時，

所以在點處的切線方程為

若函數存在“類對稱點”

則等價當時， ，當時恒成立

當時恒成立，

等價于恒成立

即

令

而

要使在恒成立，只要在單調遞增即可

所以，即當時恒成立，同理可得，

所以

所以函數存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”橫坐標為.