Question

已知函數(shù)
（1）用函數(shù)單調(diào)定義研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明之；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，寫出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）任意取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂.（3分）
因?yàn)閤₁＜x₂所以x₁-x₂＜0
當(dāng)時(shí)，0＜x₁x₂＜3所以x₁x₂-3＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）在（]上是單調(diào)減函數(shù)．（6分）
同理可證f（x）在（）上是單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x≠0，x∈R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（9分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/528114.png' />
所以f（x）是奇函數(shù)．（12分）
（3）圖象為
（14分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為和（16分）
分析：（1）先任意取兩個(gè)變量，且界定其大小，再作差變形看符號(hào)，注意變形到等價(jià)且到位．
（2）先看函數(shù)f（x）的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在此基礎(chǔ)上再研究f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（3）通過（1）（2）的結(jié)論描述圖象，結(jié)合圖象寫出單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷與證明，同時(shí)還考查了利用性質(zhì)作出函數(shù)圖象，這類作圖不是很準(zhǔn)確，但在數(shù)形結(jié)合中解決問題很有效．