Question

(本小題滿分12分）
已知函數的零點的集合為{0，1}，且是f（x）的一個極值點。
（1）求的值；
（2）試討論過點P（m，0）與曲線y＝f（x）相切的直線的條數。

Answer 1

（1）；（2）當或時，，方程①有兩等根或，此時，過點或與曲線相切的直線有兩條；
當時，，方程①無解，此時過點與曲線相切的直線僅有一條；
當或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點與曲線相切的直線有三條.

試題分析：（Ⅰ）函數的零點的集合為，則方程 的解可以為，或.
∴或.
①若，則.
當，或時，，函數為增函數；當，，函數為減函數；
∴，為函數的極值點．與題意不符．
②若，則
當，或時，，函數為增函數；當，，函數為減函數；
∴，為函數的極值點．
綜上，函數，即，
而，故，∴               …6分
（Ⅱ）設過點的直線與曲線切于點，
由（Ⅰ）知，∴曲線在點處的切線方程為，
∵滿足此方程，故，又
即，∴.
，或…①，關于的方程的判別式
當或時，，方程①有兩等根或，此時，過點或與曲線相切的直線有兩條；
當時，，方程①無解，此時過點與曲線相切的直線僅有一條；
當或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點與曲線相切的直線有三條.                                         …12分
點評：利用導數求曲線的切線方程，我們一定要分清是“在某點處的切線”還是“過某點的切線”。對于“在某點處的切線”的問題，這一點就是切點，直接根據導數的幾何意義寫出切線方程即可。對于“過某點的切線”問題，我們一般要把切點坐標設出來解決。