Question

【題目】設分別為橢圓的左、右焦點,點為橢圓的左頂點,點為橢圓的上頂點,且.

（Ⅰ）若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;

（Ⅱ）設為橢圓上一點,且在第一象限內,直線與軸相交于點,若以為直徑的圓經過點,證明: .

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意離心率以及可以建立關于， ， 的方程組，求得， ， 的值即可求解；（2）設，根據題意將， 用含的代數式表示，從而可以建立關于的函數表達式，即可得證．

試題解析：（1）設，由題意，得，且，得， ， ，

∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則， ， ，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時， ，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內，∴， ， ，由①②，解得， ，∴，∵，

∴，∴．