Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S是該三角形的面積，已知向量

p

=(1，2sinA)，

q

=(sinA，1+cosA)，且滿足

p

∥

q

．
（1）求角A的大小；（2）若a=

3

，S=

3 3

4

，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1） 由

p

=λ

q

，λ是實數，（1，2sinA）=（λsinA，λ+λcosA），解出cosA 的值，從而求出角A的大小．
（2）由三角形的面積求出AB•AC，由余弦定理求出AB²+AC²  的值，解出 AB 和 AC，根據三邊長
判斷△ABC 的形狀．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴

p

=λ

q

，λ是實數，（1，2sinA）=（λsinA，λ+λcosA），
∴λsinA=1，λ+λcosA=2sinA，∴2sin²A=1+cosA，2cos²A+cosA-1=0，
∴cosA=

1

2

，或  cosA=-1（舍去），∴角A=60°．
（2）∵S=

3 3

4

=

1

2

 AB•AC sin60°，∴AB•AC=3．
△ABC中，由余弦定理得 a²=AB²+AC²-2AB•AC cos 60°，3=AB²+AC²-3，
∴AB²+AC²=6，∴AB=AC=

3

，故△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查兩個向量兩個向量共線的性質，已知三角函數值求角，以及三角形中余弦定理的應用．