Question

在數列中，．
（1）求數列的通項；
（2）若對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）a_n=；（2）λ∈（﹣∞，]．

試題分析：（1）將3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0（n≥2）整理得：，可得{}為等差數列，由此求出數列{}的通項公式，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結果代入λa_n﹣a_n+1≤0，分離參數，得到λ≤，轉化為求函數的最小值即可解決；
試題分析：（1）由題意知數列各項不為0，
由3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0，得3+﹣=0，
所以，
所以數列{}為等差數列，首項為1，公差為3，
則=1+（n﹣1）•3=3n﹣2，所以a_n=；
（2）若λa_n﹣a_n+1≤0恒成立，即λ≤恒成立，整理得：λ≤=1﹣，
設f（x）=1﹣，可知f（x）在x∈（﹣，+∞）上單調遞增，
所以當n=1時，[1﹣]min=，
所以λ的取值范圍為λ∈（﹣∞，]．