Question

【題目】已知橢圓（）的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于， 兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）當時，求直線的方程；

（3）記橢圓的右頂點為，點（）在橢圓上，直線交軸于點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點．問： 軸上是否存在點，使得（為坐標原點）？若存在，求點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）點的坐標為或

【解析】試題分析：

(1)由題意求得則橢圓的方程為；

(2)很明顯直線的斜率存在，利用弦長公式得到關于斜率k的方程，解方程可得的方程為．

(3) 假設軸上存在點，使得，原問題等價于滿足，據此整理計算可得點的坐標為或．

試題解析：

解：（1）由已知，點在橢圓上，

因此解得

所以橢圓的方程為．　

（2）依題意，直線的斜率必存在，設的方程為， ， ，

則 ，

故， ，

∴ ，

整理得，即，

∴的方程為．

（3）假設軸上存在點，使得，

“存在點使得”等價于“存在點使得”

即滿足，

因為，所以，

直線的方程為，

所以，即，

因為點與點關于軸對稱，所以．

同理可得，

因為， ， ，

所以，

所以或，

故在軸上存在點，使得，點的坐標為或．