Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點P（ ， ）在橢圓上，不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2 ， 且k1、k、k2恰好構成等比數列，記△AOB的面積為S．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？
（3）求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知a=2b且 ，∴a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：
（2）解：設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，

∵k1、k、k2恰好構成等比數列．

∴k2=k1k2= ．

∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=± ．

∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2

∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22= [（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，

∴|OA|2+|OB|2是定值為5

（3）解：S= |AB|d= = ．

當且僅當m=±1時，S的最大值為1

【解析】（1）根據橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點P（ ， ）在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的方程．（2）設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據k1、k、k2恰好構成等比數列，求出k，進而表示出|OA|2+|OB|2 ， 即可得出結論；（3）表示出△ABO的面積，利用基本不等式，即可求S的最大值．