Question

【題目】函數f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的奇函數，當x∈[－1,0)時，f(x)＝2x＋ (x∈R)．

(1)當x∈(0,1]時，求f(x)的解析式．

(2)判斷f(x)在(0,1]上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝2x ;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1) 當0<x≤1時，－1≤－x<0，f(－x)＝－2x＋=- f(x),解出f(x)即可;(2) 任取x1，x2∈(0,1]且x1<x2,通過計算得出f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,1]上為增函數．

試題解析:

(1)當0<x≤1時，－1≤－x<0，

f(－x)＝－2x＋，因為f(x)為奇函數，f(－x)＝－f(x)　∴f(x)＝2x－.

(2)任取x1，x2∈(0,1]且x1<x2.

則f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋(－)

＝2(x1－x2)＋

＝(x1－x2)(2＋)

因為0<x1<x2＜1，則x1－x2<0且2＋>0.

從而f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(0,1]上為增函數．

點睛: 本題考查利用函數的奇偶性求函數解析式,判斷并證明函數的單調性,屬于中檔題目.證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷