Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₂C₃D₄中，側棱AA₁=2，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，P為側棱BB₁上的動點．
（1）求證：D₁P⊥AC；
（2）當二面角D₁-AC-P的大小為120°，求BP的長；
（3）在（2）的條件下，求三棱錐P-ACD₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）應通過證明AC⊥平面BB₁D₁D得出D₁P⊥AC；
 （2）易知∠D₁OP是二面角D₁-AC-P的平面角，設BP=x（0≤x≤2），在△D₁OP中，由余弦定理建立關于x的方程求解計算即可．
（3）在（1）的基礎上，考慮將三棱錐P-ACD₁分割成A-OPD₁與C-OPD₁，轉化求解．
另可以設上、下底面菱形對角線交點分別為O₁，O，以O為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法解決（1），（2）．
解答：解法一：（1）連接BD，則AC⊥BD，

∵D₁D⊥底面ABCD，∴AC⊥D₁D …（2分）
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵D₁P?平面BB₁D₁D，∴D₁P⊥AC．…（4分）
（2）設AC∩BD=O，
連接D₁O，OP，
∵D₁A=D₁C，∴D₁O⊥AC，同理PO⊥AC，
∴∠D₁OP是二面角D₁-AC-P的平面角．…（6分）
∴∠D₁OP=120°．
設BP=x（0≤x≤2），
∵AB=2，∠ABC=60°，則BO=DO=，
∴PO=，D₁O==．
在RT△D₁B₁P₁中，D₁P=．
在△D₁OP中，由余弦定理D₁P²=D₁O²+PO²-2D₁O•PO•cos120°得
12+（2-x）²=7+3+x²+2，
即6-4x=
整理得3x²-16x+5=，解得x=，或x=5（舍）．∴BP=，．…（9分）
（3）∵BP=，，∴PO==，
∴S_△POD1=•PO•OD₁•sin120°=•=．   
∵AC⊥平面OPD₁，
∴VP-ACD₁的=V_P-OCD1 +V_P-OAD1=V _A-OPD1+V _C-OPD1
=S_△POD1•AC=•=•2=．
解法二：設上、下底面菱形對角線交點分別為O₁，O，
則AC⊥BD，OO₁⊥平面ABCD．
如圖，以OD、OC、OO₁所在直線為xyz軸，建立空間直角坐標系．…（1分）
（1）A（1，-1，0），C（0，1，0），D₁（，0，2），B（-，0，0）
設P（-，0，x）（0≤x≤2）則=（0，2，0），=（-2，0，x-2），則•=0
∴⊥=0即AC⊥D₁P．…（5分）
（2）=（，0，2），=（-，0，x），
•=0，•=0．
⊥，⊥
∴＜，＞就是二面角D₁-AC-P的平面角，…（7分）
cos∠D₁OP===-．
解得x=，或x=5（舍）．
∴BP=，…（9分）
（3）同解法一．
點評：本題考查異面直線夾角，二面角大小求解，考查考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具