Question

(本小題滿分12分)已知雙曲線的離心率，過點和的直線與原點間的距離為
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）直線與雙曲線交于不同的兩點，且兩點都在以為圓心的同一個圓上，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線方程為.（Ⅱ）

解：（1）設，.
整理得AB：bx-ay-ab=0與原點距離，又，
聯立上式解得b=1，∴c=2，.∴雙曲線方程為.
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）設CD中點M（x₀，y₀），
∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
聯立直線與雙曲線的方程得，整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，且.
∴， ，
∴∴，∴AM⊥CD.
∴，整理得，
則且k²>0，，代入中得.
∴.