Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）
（1）若f（1）＜0，求a的取值范圍；
（2）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

∵f（1）＜0，

∴a﹣ ＜0，

又a＞0，且a≠1，

∴0＜a＜1

（2）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，

∴a=2或a=﹣ （舍去）

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

則f（x）=2x﹣2﹣x為增函數，

∵x≥1，

∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ）

若m≥ ，當t=m時，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2

若m＜ ，當t= 時，h（t）min= ﹣3m=﹣2，解得m= ＞ ，舍去

綜上可知m=2

【解析】（1）根據f（1）＜0，解不等式可得a的取值范圍．（2）根據f（1）= 確定a=2的值，從而可得函數g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x ， 由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數，可得t≥f（1）= ，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2　（t≥ ），分類討論，利用最小值為﹣2，可求m的值
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和指、對數不等式的解法的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；指數不等式的解法規律：根據指數函數的性質轉化;對數不等式的解法規律：根據對數函數的性質轉化才能正確解答此題．