Question

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x²-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠離2ab

ab

；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）根據定義可得|x²-1|＞1再按照絕對值不等式的解法求解．
（2）證明：易知∵

b2

a

+

a2

b

＞ a+b＞2

ab

成立，再兩邊同乘以ab得到要證明的問題．
（3）根據定義可得f(x)=

sinx ，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 ) cosx ，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )

，再由正弦函數和余弦函數的性質進行探討．

解答：解：（1）根據定義可得：|x²-1|＞1
∴x²-1＞1或x²-1＜-1
解得x∈(-∞，-

2

)∪(

2

．+∞)
（2）證明：欲證明a³+b³比a²b+ab²遠離2ab

ab

即證|a³+b³-2ab

ab

|＞|a²b+ab²-2ab

ab

|，又任意兩個不相等的正數a、b
即證|

b2

a

+

a2

b

-2

ab?

|＞|a+b-2

ab?

|
由于a+b≥2

ab?

，

b2

a

+

a2

b

-(a+b)=

(a+b)(a2+b2-2ab)

ab

＞0
∴

b2

a

+

a2

b

＞a+b＞2

ab

即證|

b2

a

+

a2

b

-2

ab?

|＞|a+b-2

ab?

|成立
∴|a³+b³-2ab

ab

|＞|a²b+ab²-2ab

ab

|
（3）由題意知f(x)=

sinx ，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 ) cosx ，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )

性質：①函數是偶函數；
②周期T=

π

2

③在區間[

kπ

2

+

π

4

，

kπ

2

+

π

2

]k∈z是增函數，在[

kπ

2

-

π

4

，

kπ

2

+

π

4

]k∈z是減函數
④最大值為1，最小值為

2

2

⑤定義域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}

點評：本題通過新定義來考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的證明，構造新函數并研究其性質，設置新穎，考查豐富，是一道好題．