Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分別為橢圓C的長軸與短軸的端點．
（1）設點M（x₀，0），若當且僅當橢圓C上的點P在橢圓長軸頂點A₁、A₂處時，|PM|取得最大值與最小值，求x₀的取值范圍；
（2）若橢圓C上的點P到焦點距離的最大值為3，最小值為l，且與直線l：y=kx+m相交于A，B兩點（A，B不是橢圓的左右頂點），并滿足AA₂⊥BA₂．試研究：直線l是否過定點？若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設出P點坐標，用P，M點坐標表示|PM|的平方，得到PM|的平方可看成是關于x的二次函數，再根據x的取值范圍，求出PM|的平方的范圍，進而得到x₀的取值范圍．
（2）先根據橢圓C上的點P到焦點距離的最大值為3，最小值為l求出橢圓方程，再與直線l：y=kx+m聯立，得到x₁x₂，x₁+x₂，再根據AA₂⊥BA₂，AA₂與BA₂斜率之積為-1，，求m的值，若能求出，則直線l過定點，若不能求出，則直線l不過定點．

解答：解：（1）設P（x，y）且

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
則f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=

c2

a2

x2-2x0x+x02+b2，則對稱軸方程為x=

a2

c2

x0，
由題意只有當

a2x0

c2

≥a或

a2x0

c2

≤-a時滿足題意，所以x0≥

c2

a

或x0≤-

c2

a

故x₀的取值范圍是(-∞，-

c2

a

]∪[

c2

a

，+∞)．                                    
（2）因為|c|＞

c2

a

所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                        
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0 x1+x2= 8mk 3+4k2 x1x2=  4(m2-3) 3+4k2

又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
因為橢圓的右頂點為A₂（2，0），∴kAA2kBA2=-1，即

y1

x1-2

y21

x2-2

=-1，
y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：m₁=-2k，m₂=-

2k

7

，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當m₁=-2k時，l的方程為y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當m₂=-

2k

7

時，l的方程為y=k（x-

2

7

），直線過定點（

2

7

，0）．
所以，直線l過定點，定點坐標為（

2

7

，0）．

點評：本題考查了直線與橢圓位置關系，計算量較大，做題時應認真，避免出錯．