Question

設p＞1，0≤x≤1，求函數f(x)=x^p+(1-x)^p的值域．

 

Answer 1

答案：
解析：

易知f(x)在[0，1]連續可導，函數f(x)在[0，1]上一定存在最大值與最小值，這樣，求函數f(x)的值域，可轉化為求最值． 　　f′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1 　　　　=p[xp-1-p(1-x)p-1] 　　令f′(x)=0，則得xp-1=(1-x)p-1 　　即x=1-x，x= 　　 　　f(0)=f(1)=1 　　又p＞1，∴　f(x)的值域為[，1]

提示：

對于閉區間[a，b]上的連續函數，如果在相應開區間(a，b)內可導，求[a，b]上的最值可簡化過程，即直接將可疑點的函數值與端點的函數值比較即可斷定最大的函數值就是最大值，最小的函數值就是最小值，這樣可以省去判別極值的手續，達到又快捷又簡便的目的