Question

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為

2

6

．

Answer 1

分析：根據題意作出圖形，利用截面圓的性質即可求出OO₁，進而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積．

解答：解：根據題意作出圖形：
設球心為O，過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點D，則SD⊥平面ABC．
∵CO1=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∴OO1=

12-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴高SD=2OO₁=

2 6

3

，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S△ABC=

3

4

，
∴V_{三棱錐S-ABC}=

1

3

×

3

4

×

2 6

3

=

2

6

．
故答案為

2

6

．

點評：利用截面圓的性質求出OO₁是解題的關鍵．