Question

如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(不與點A，C重合)，延長BD至E.

(1)求證：AD的延長線平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC邊上的高為2＋，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

如圖，設F為AD延長線上一點．
∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，
故∠EDF＝∠CDF，即AD的延長線平分∠CDE.
(2)設O為外接圓圓心，連接AO交BC于H，則AH⊥BC.
連接OC，由題意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.
設圓半徑為r，則r＋r＝2＋，得r＝2，外接圓面積為4π.