Question

【題目】已知 f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2．．

(1)當時，求函數的單調區間；

(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區間，增區間；（2）.

【解析】

(1)求出，通過討論其符號可得函數的單調區間.

（2）因為在處有極大值，從而可知在的左側附近有，在的右側附近有，從而得到在的兩側附近總有，據此可求出的取值范圍.

(1) 當時，，令，則，

當時，；

當時，，

所以的增區間為，減區間為.

（2）由(1)得.

因為在處有極大值，

故可知在的左側附近有，

在的右側附近有，

所以在的兩側附近有，所以即，

此時當，，則當x∈（﹣∞，0）時，x＜0，ex＜1，ex﹣a＜0，所以f'（x）＞0；

當x∈（0，lna）時，x＞0，ex﹣a＜elna﹣a＝0，所以f'（x）＜0．

故為的極大值點，

若a≤1，則當x∈（0，1）時，x＞0，ex﹣a≥ex﹣1＞0，

所以f'（x）＞0．

所以0不是f（x）的極大值點．

綜上可知，a的取值范圍是（1，+∞）．