Question

【題目】正方體ABCD－A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 2，且AC 與BD 交于點(diǎn)O，E 為棱DD1 中點(diǎn)，以A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz，如圖所示.

(Ⅰ)求證：B1O⊥平面EAC；

(Ⅱ)若點(diǎn)F 在EA 上且B1F⊥AE，試求點(diǎn)F 的坐標(biāo)；

(Ⅲ)求二面角B1－EA－C 的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

證明：(I) 由題設(shè)知下列各點(diǎn)的坐標(biāo)A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2, 2, 0),

D (0, 2, 0),E (0, 2, 1),B1(2, 0, 2)．

∵O是正方形ABCD的中心，∴O (1, 1, 0)．

∴= (－1, 1, －2)，= (2, 2, 0)，= (0,2, 1)．

∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)

= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．

·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)

= －1·0 + 1·2－2·1 = 0．

∴

即B1O ⊥AC，B1O⊥AE，

∴B1O⊥平面ACE．

(II) 由F點(diǎn)在AE上，可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F (0, 2l,l)，

則= (－2, 2l,l－2)．

= (－2, 2l,l－2)·(0, 2, 1) = 5l－2 = 0，

∴l= ,

∴．

(III) ∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，連結(jié)OF，由三垂線定理的逆定理得OF⊥AE．

∴∠OFB1即為二面角B1－EA－C的平面角．

∴=

又=，

∴= = ．

在Rt△B1OF中，sin∠B1FO= = ．

故二面角B1－EA－C的正弦值為．