Question

如果函數(shù)y=a^2x+2a^x-1(a＞0且a≠1)在［-1，1］上有最大值14，試求a的值.

Answer 1

設(shè)t=a^x，則原函數(shù)可化為y=(t+1)²-2，對(duì)稱(chēng)軸為t=-1.
(1)若a＞1，∵x∈［-1，1］，
∴-1＜≤t≤a.
∵t=a^x在［-1，1］上遞增，
∴y=(t+1)²-2當(dāng)t∈［，a］時(shí)也遞增.
∴原函數(shù)在［-1，1］上遞增.
故當(dāng)x=1時(shí)，y_max=a²+2a-1.
由a²+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a＞1).
(2)若1＞a＞0，可得當(dāng)x=-1時(shí)，y_max=a^-2+2a^-1-1=14，
解得a=或a=- (舍去).
綜上，a=或3.

將原函數(shù)看成是二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)合成的復(fù)合函數(shù)，利用相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題.可采用換元法.