Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a＜0時，證明f（x）≤﹣ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，

求導f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0），

①當a=0時，f′（x）= +1＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

③當a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=﹣ ．

因為當x∈（0，﹣ ）時，f′（x）＞0、當x∈（﹣ ，+∞）時，f′（x）＜0，

所以y=f（x）在（0，﹣ ）上單調遞增、在（﹣ ，+∞）上單調遞減．

綜上可知：當a≥0時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當a＜0時，f（x）在（0，﹣ ）上單調遞增、在（﹣ ，+∞）上單調遞減；

（2）

證明：由（1）可知：當a＜0時f（x）在（0，﹣ ）上單調遞增、在（﹣ ，+∞）上單調遞減，

所以當x=﹣ 時函數y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）．

從而要證f（x）≤﹣ ﹣2，即證f（﹣ ）≤﹣ ﹣2，

即證﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即證﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2．

令t=﹣ ，則t＞0，問題轉化為證明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）

令g（t）=﹣ t+lnt，則g′（t）=﹣ + ，

令g′（t）=0可知t=2，則當0＜t＜2時g′（t）＞0，當t＞2時g′（t）＜0，

所以y=g（t）在（0，2）上單調遞增、在（2，+∞）上單調遞減，

即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，

所以當a＜0時，f（x）≤﹣ ﹣2成立．

【解析】（1.）題干求導可知f′（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三種情況討論f′（x）與0的大小關系可得結論；
（2.）通過（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），進而轉化可知問題轉化為證明：當t＞0時﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．進而令g（t）=﹣ t+lnt，利用導數求出y=g（t）的最大值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握解一元二次不等式(求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊)的相關知識才是答題的關鍵．