Question

在數列{a_n}中，已知a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，且對任意正整數n，S_n+1=4a_n+2．
（I）令b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），證明{b_n}是等比數列，并求{b_n}的通項公式；
（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），為數列{

1

log2cn+2•log2cn+1

}的前n項和，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（I）利用數列的前n項和與數列的項的關系將已知條件中的和與項的遞推關系轉化為項間的遞推關系，求出

bn+1

bn

的值，利用等比數列的定義得證，再利用等比數列的通項公式求出通項．
（II）先求出{c_n}的通項，代入

1

log2cn+2•log2cn+1

中，利用裂項相消法求出和T_n，利用基本函數的極限值求出極限．

解答：解（I）a_n+1=S_n+1-S_n=4（a_n-a_n-1）①
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1
由①得b_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∴

bn+1

bn

=

2(an+1-2an)

an+1-2an

=2
∴b_n}是公比為2的等比數列
∵b₁=a₂-2a₁=3
∴b_n=3×2^n-1
（II）∵Cn=

bn

3

=2n-1
∴

1

log2cn+2•log2cn+1

=

1

n(n+1)

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1

點評：解決數列中和與項的遞推關系的問題，也不是仿寫等式關系，相減利用和與項的關系轉化為僅有項的關系；求數列的前n項和關鍵是判斷出數列通項的特點，再選擇合適的公式．