Question

已知二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，2]時，關于x的函數g（x）=f（x）-（t-x）x-3的圖象始終在x軸上方，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵二次函數圖象頂點為（1，16），
∴函數的對稱軸為x=1
∵在x軸上截得線段長為8，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（-3，0），（5，0），…（2分）
又∵開口向下，設原函數為f（x）=a（x+3）（x-5）（a＜0）…（4分）
將（1，16）代入得a=-1，…（6分）
∴所求函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+2x+15．…（7分）
（2）g（x）=f（x）-（t-x）x-3=（2-t）x+12，x∈[0，2]…（9分）
由g（x）得圖象在x軸上方，根據一次函數的性質可得

g(0)＞0 g(2)＞0

，…（12分）
即-2t+16＞0
解得t＜8…（14分）