Question

已知函數f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

，設Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，n∈N^*，且n≥2．
（1）求S_n；
（2）已知a1=

2

3

，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

，（n≥2，n∈N^*），數列{a_n}的前n項和為T_n，若T_n＜λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對數的運算性質可得f（x）+f（1-x）=1，當n≥2時，對S_n及其倒序和相加即可得出S_n．
（2）當n≥2時，利用“裂項求和”即可得到T_n，由T_n＜λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，分離參數，利用二次函數的性質或基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）+f（1-x）=

1

2

+log2

x

1-x

+

1

2

+log2

1-x

x

=1．
∴f（x）+f（1-x）=1
又∵n≥2時，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)①
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)②
①+②得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

．
（2）n≥2時，an=

1

( n-1 2 +1)( n 2 +1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
當n=1時也滿足．T_n=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=2-

4

n+2

(n∈N*)
由T_n＜λ（S_n+1+1）得2-

4

n+2

＜λ(

n

2

+1)，λ＞

2

n+2

(2-

4

n+2

)⇒λ＞

4

n+2

-

8

(n+2)2

（方法一）令t=

2

n+2

則

4

n+2

-

8

(n+2)2

=2t-2t2=-2(t-

1

2

)2+

1

2

又∵n∈N*∴0＜t≤

2

3

∴t=

1

2

時，即n=2時，

4

n+2

-

8

(n+2)2

最大，最大值為

1

2

．
∴λ∈(

1

2

，+∞)．
（方法二）λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

．
其中

4

n+ 4 n +4

≤

4

2 4 +4

=

1

2

，∴λ∈(

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了對數的運算性質、倒序相加求和、“裂項求和”、分離參數法、二次函數的性質或基本不等式的性質等基礎知識與基本方法，屬于難題．