Question

（本小題滿分13分）

已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點M是棱AA'的中點，點O是對角線BD'的中點.

（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；

（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；

（Ⅲ）求三棱錐M－OBC的體積（理科做，文科不做）

Answer 1

本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力。

解法一：（1）連結AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連結OK

因為M是棱AA’的中點，點O是BD’的中點

所以AM

所以MO

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’

因為AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’

所以AK⊥BD’

所以MO⊥BD’

又因為OM是異面直線AA’和BD’都相交

故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線

（2）取BB’中點N，連結MN，則MN⊥平面BCC’B’

過點N作NH⊥BC’于H，連結MH

則由三垂線定理得BC’⊥MH

從而,∠MHN為二面角M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M-BC’-B’的大小為arctan2

(3)易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’內

點O到平面MA’D’距離h＝

V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’=S_△MA’D’h=

解法二：

以點D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz

則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)

(1)因為點M是棱AA’的中點,點O是BD’的中點

所以M(1,0, ),O(,,)

,=(0,0,1),=(-1,-1,1)

=0, +0=0

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’

又因為OM與異面直線AA’和BD’都相交

故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………………………4分

(2)設平面BMC'的一個法向量為=(x,y,z)

=(0,-1,), ＝(－1,0,1)

  即

取z＝2,則x＝2,y＝1，從而=(2,1,2)

取平面BC'B'的一個法向量為＝(0,1,0)

cos

由圖可知，二面角M-BC'-B'的平面角為銳角

故二面角M-BC'-B'的大小為arccos………………………………………………9分

(3)易知，S_△OBC＝S_△BCD'A'＝

設平面OBC的一個法向量為＝(x₁,y₁,z₁)

＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)

  即

取z₁＝1,得y₁＝1，從而＝(0,1,1)

點M到平面OBC的距離d＝

V_M－OBC＝…………………………………………12分