Question

【題目】已知函數有兩個極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）的兩個極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先對函數求導，設，根據題中條件可得在內有兩個變號零點，再對求導，判斷函數單調性，分別討論，即可求出結果；

（2）先由題意可得到的極值點，就是的零點，即，根據(1)中單調性，以及，可得，，再設，，對函數求導，結合題中條件，即可證明結論成立.

（1）的定義域為，.

設，則由題意得，在內有兩個變號零點.

，令，解得；令，解得.

所以在上單調遞增，在上單調遞減，因此.

當時，，這時在上沒有變號零點；

當時，，，又因為，，，

所以在和內分別有一個變號零點.

綜上，的取值范圍為.

（2）的極值點，就是的零點，即.

因為在單調遞增，而在上單調遞減，且，

所以，.

設，，

則 .

因為時，，

所以當時，，所以在上單調遞減.

又因為，所以當時，，即，

因為，所以，又因為，所以.

由于，而在上單調遞減.

所以，從而，因此.