Question

【題目】已知圓，定點，為圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）若過定點的直線交曲線于不同的兩點，（點在點，之間），且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由點在線段的垂直平分線上，得到，根據橢圓的定義，即可求得曲線的方程；

（2）當直線斜率不存在時，求得；當直線斜率存在時，設直線方程為，代入橢圓方程，利用根與系數的關系，以及向量的運算，即可求解.

（1）由題意，點在線段的垂直平分線上，則有，

可得，

由橢圓的定義，可得點的軌跡為以，為焦點的橢圓，

且橢圓長軸長為，焦距為，所以，，

又由，所以曲線的方程為.

（2）當直線斜率不存在時，方程為，由，得；

當直線斜率存在時，設直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

由已知得，解得，

設，，則，，

又由，得，即，

所以，

由，得，解得，

又由，得.

綜上，的取值范圍是.