Question

【題目】已知命題p：x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命題q：f（x）=x2﹣ax+1在區間 上是增函數．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，

等價于a≥ x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，

而函數g（x）= x2﹣x在x∈[2，4]遞增，

其最大值是g（4）=4，

∴a≥4，

若p為真命題，則a≥4；

f（x）=x2﹣ax+1在區間 上是增函數，

對稱軸x= ≤ ，∴a≤1，

若q為真命題，則a≤1；

由題意知p、q一真一假，

當p真q假時，a≥4；當p假q真時，a≤1，

所以a的取值范圍為（﹣∞，1]∪[4，+∞）．

【解析】根據函數恒成立問題求出p為真時a的取值范圍，由二次函數的性質可求出q為真時a的取值范圍，從而可判斷p、q一真一假時a的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了復合命題的真假的相關知識點，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真才能正確解答此題．