Question

已知奇函數y=f（x）定義域是[-4，4]，當-4≤x≤0時，y=f（x）=-x²-2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）設 0≤x≤4，則4≤-x≤0，由已知可得f（-x）=-x² +2x，再利用y=f（x）是奇函數可得，-f（x）=-x² +2x，從而求出函數在0≤x≤4 時的解析式，即可得到函數在[-4，4]上的解析式．
（2）畫出函數f（x）的圖象，結合圖象可得函數的最值，從而求出函數的值域．
（3）結合圖象可得函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）設 0≤x≤4，則4≤-x≤0，由于當-4≤x≤0時，y=f（x）=-x²-2x，
故f（-x）=-x² +2x．
再由函數y=f（x）是奇函數可得，-f（x）=-x² +2x，故 f（x）=x² -2x．
故函數f（x）的解析式為 f（x）=

-x2-2x ，  -4≤x≤0 x2 -2x ，   0＜x≤4

．
（2）畫出函數f（x）的圖象，結合圖象可得，當x=-4時，函數f（x）取得最小值為-8，
當x=4時，函數f（x）取得最大值為8，故函數的值域為[-8，8]．

（3）結合圖象可得，函數f（x）的單調遞增區間為[-4，-1]、[1，4]．

點評：本題主要考求查函數的解析式的方法，求函數的單調性及單調區間，求函數的最值，函數的奇偶性的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．