Question

已知數列滿足：，，（其中為非零常數，）．
（1）判斷數列是不是等比數列？
（2）求；
（3）當時，令，為數列的前項和，求.

Answer 1

（1）數列是等比數列；（2），；（3）.

試題分析：（1）將數列的遞推式進行變形得，從而利用定義得到數列是等比數列；（2）在（1）的基礎上先求出數列的通項公式，再利用累乘法求數列的通項公式；（3）在（2）的基礎上，將代入數列的通項公式，從而求出數列的通項公式，并根據數列的通項公式，對、以及進行三種情況的分類討論，前兩種情況利用等差數列求和即可，在最后一種情況下利用錯位相減法求數列的前項和，最后用分段的形式表示數列的前項和.
試題解析：（1）由，得．
令，則，．
，，（非零常數），
數列是等比數列．
（2）數列是首項為，公比為的等比數列，
，即．
當時，
，
滿足上式，．
（3），
當時，．
，              ①
    ②
當，即時，①②得：
，
即．
而當時，，
當時，．
綜上所述，