Question

【題目】設函數，其中．

（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）當時，求函數的極值點

（Ⅲ）證明：對任意的正整數，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（1）在定義域上單調遞增；

（II）時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數在上無極值點。

（III）證明見詳解.

【解析】

試題（1）根據導數研究函數單調性，先明確定義域（-1，+∞），再求導函數，確定導函數在定義域上符號變化情況，從而可得函數單調性（2）當時，由導函數=0解得兩個不同解，下面根據兩個根與-1的大小關系進行討論：①當b＜0時，只有大根在定義域內，從而有唯一的極小值點；②當時，兩根都在定義域內，因此列表分析可得有一個極大值點和一個極小值點（3）利用函數證明不等式，關鍵在于構造對應函數：，再利用導數研究單調性，從而給予證明．

試題解析：（1）當，

所以函數定義域（-1，+∞）上單調遞增

（2） 當時，令=0解得兩個不同解

①當b＜0時，

此時在（-1，x2）減，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的極小值點

②當時， 在都大于0，在上小于0，

此時有一個極大值點和一個極小值點綜上可知，

時，有一個極大值點和一個極小值點

（2）b＜0，時，在（-1，+∞）上有唯一的極小值點

（3）當b=-1時，

令上恒正

∴在上單調遞增，當x∈（0，+∞）時，恒有

即當x∈（0，+∞）時，有，

對任意正整數n，取