Question

．（本小題共13分）在平面直角坐標系xOy中，為坐標原點，動點與兩個定點，的距離之比為．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線：與曲線交于，兩點，在曲線上是否存在一點，使得，若存在，求出此時直線的斜率；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設點的坐標為，依題意，，         ………1分

    即 ，                   ……………………3分

    化簡得．

    所以動點的軌跡的方程為．             ……………………5分

（Ⅱ）因為直線：與曲線相交于，兩點，

    所以 ，

所以或．             ……………………7分

    假設存在點，使得．                  ……………………8分

    因為，在圓上，且，

    由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，

    所以與互相垂直且平分，                      …………9分

    所以原點到直線：的距離為．…………10分

    即 ，解得， ，經驗證滿足條件．……………………12分

    所以存在點，使得．                    ……………………13分

 

【解析】略