Question

【題目】已知函數，()．

（1）若函數與的圖象在上有兩個不同的交點，求實數的取值范圍；

（2）若在上不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對于時，任意，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據題設將問題進行轉化，再運用導數知識求解；（2）先將不等式進行等價轉化，再構造函數借助導數工具分析求解；（3）先構造函數，再依據題設與問題（2）的結論進行分析推證。

（1）設函數

，

①時，為單調減函數，不成立

②時，，；，

所以函數有唯一的極小值，需要，

又因為，，

所以在有兩個零點，，有兩個交點，

所以

（2）設函數，且

①當時，有，不成立，

②當時，（i）時，，當時，

所以在上是單調增函數，所以

（ii）時，設，

所以存在，使得時

，∴，不成立

綜上所述

（3）不等式變形為

設函數，由第（2）問可知當時函數為單調函數，所以原不等式成立．