Question

已知函數.
（1）當時，求函數在上的最大值；
（2）令，若在區間上不單調，求的取值范圍；
（3）當時，函數的圖像與x軸交于兩點，且，又是的導函數，若正常數滿足條件.證明：.

Answer 1

(1)-1；(2)  ；(3)參考解析

試題分析：(1)因為函數，當時.求出函數的導數，即可得到上函數的單調性，從而得到函數的最大值.
(2)因為，若在區間上不單調，即等價于函數在（0，3）上有實數解，且無重根.所以由，分離變量，通過研究函數，的范圍，即可得到取值范圍.
(3)因為當時，函數的圖像與x軸交于兩點，所以可得即可用表示m.又由化簡.可消去m.即可得到關于的代數式，再利用導數知識求出的最值即可得結論.
試題解析：（1）
函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，
所以．
（2）因為，所以，
因為在區間上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，
由，有=，（）
所以
（3）∵，又有兩個實根，
∴，兩式相減，得，
∴,
于是
．
．
要證：，只需證：
只需證：．(*)
令，∴(*)化為 ，只證即可． 在（0，1）上單調遞增，，即．
∴．