Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面,,

分別為棱的中點.

（1）求證: ；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）連接，易證，結合平面平面可知平面，∴，又，∴平面，從而得證；（2）先證明兩兩垂直，分別以方向為軸， 軸， 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量的坐標，代入公式，即可得到所成的銳二面角的余弦值

試題解析：

（1）連接.

∵，

∴是等邊三角形.

又為棱的中點，∴.

∵平面平面,平面平面， 平面.

∴平面.

∵平面，∴.

∵，

∴是菱形.

∴.

又分別為的中點，

∴，∴.

又，∴平面.

又平面，∴.

（2）連接，

∵，

∴為正三角形.

∵為的中點，∴.

又∵平面平面，

且平面平面，

平面，

∴平面.

∵兩兩垂直，

∴分別以方向為軸， 軸， 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設.

設平面的一個法向量為，

由，

令，得.即.

由（1)，知平面，

∴平面的一個法向量為.

設平面與平面所成的銳二面角大小為，

則，

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.