Question

已知函數f（x）的定義域為R，若存在常數m＞0，對任意x∈R，有|f（x）|＜m|x|，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：
①f（x）=x²；
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=

x

x2+x+1

；
④f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函數的序號為（　�。�

• A、②④
• B、①③
• C、③④
• D、①②

Answer 1

分析：本題是一個新定義的題目，故依照定義的所給的規則對所四個函數進行逐一驗證，選出正確的即可．

解答：解：對于①，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立，故其不是F函數；
對于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函數；
對于③，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函數；
對于④，f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，由奇函數的性質知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．顯然是F函數
故選C

點評：本題考查根據所給的新定義來驗證函數是否滿足定義中的規則，是函數知識的給定應用題，綜合性較強，做題時要注意運用所深知識靈活變化進行證明．