Question

已知數列的前n項和（n為正整數）。

（Ⅰ）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，比較與的大小，并證明。（本小題滿分14分）

Answer 1

（Ⅰ）.

（Ⅱ）當，當時

解析:

（I）在中，令n=1，可得，即

當時，，…… 2分

.

  .                   .   

 又數列是首項和公差均為1的等差數列. ……………………4分

 于是.……………………5分

(II)由（I）得，所以

由①-②得                  

……………………8分

于是確定的大小關系等價于比較的大小

由                  

可猜想當證明如下：……………………10分

證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。

（2）假設時

所以當時猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數，都有

證法2：當時

綜上所述，當，當時