Question

已知雙曲線的兩條漸近線經過坐標原點，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A'與點A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否存在過A點的一條直線交雙曲線于M、N兩點，且線段MN被直線x=-1平分．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定雙曲線頂點的坐標，再利用雙曲線的漸近線經過坐標原點，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，求得漸近線方程，從而求出雙曲線的方程；
（2）先假設存在，與雙曲線方程聯立，利用線段MN被直線x=-1平分，求參數的值，再進行驗證即可．
解答：解：（1）由題意得，∵雙曲線的一個頂點A'與點A關于直線y=x對稱
∴頂點A'（0，）
設雙曲線的一條漸近線方程為y=kx
∵雙曲線的漸近線經過坐標原點，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切
∴k=1
∴雙曲線的方程為
（2）設過A點的一條直線方程為，
代入雙曲線方程并化簡得
由題意，，即
經驗證，滿足題意
∴直線方程為
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線標準方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關系，關鍵是合理運用雙曲線的幾何性質，對于是否存在性問題，通常轉化為封閉型問題求解．