Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，滿足 ， ， ．
（1）求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ， ， ．

∴n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn，

∴ =2 ，

∴a1=1，

∴ =1，

∴數(shù)列 是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

（2）證明：由（1）知 ，

∴ ，

∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n2n﹣1，

∴2Tn=1×21+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

由錯(cuò)位相減得﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n=2n﹣1﹣n2n=（1﹣n）2n﹣1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1

【解析】（1）先根據(jù)向量的平行得到n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn ， 繼而得到 =2 ，問題得以證明，（2）由（1）可得以 ，由錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn ．