Question

【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,以坐標原點O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點,直線l過B點且與x軸垂直.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設G是橢圓C上異于A,B的任意一點,過點G作GH⊥x軸于點H,延長HG到點Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長交直線l于點M,N為線段MB的中點,判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系,并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，再由橢圓的離心率求解的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設，則，可得和的方程，又由點在橢圓上，代入化簡得，又由原點到直線QN的距離，即可作差判斷.

(1)由題意可得b==1.

又∵橢圓C的離心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,

∴橢圓C的標準方程為+y2=1.

(2)設G(x0,y0),則Q(x0,2y0).

易知A(-2,0),B(2,0),可得直線AQ的方程為y=(x+2),

令x=2,可得M,∴N,

則直線QN的方程為y-2y0=(x-x0),

即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.

又∵點G在橢圓C上,

∴+=1,∴①式可化為x0x+2y0y-4=0,

∴原點(0,0)到直線QN的距離為=2.

又易知以AB為直徑的圓O的半徑為2,

故直線QN與以AB為直徑的圓O相切.