Question

【題目】已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，點P為直線x+2y﹣9=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則 的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（0， ]
【解析】解：設∠APB=2θ，則PA=PB= ， 當OP取得最小值時，θ取得最大值．
圓心C（2，1）到直線x+2y﹣9=0的距離為 = ，圓的半徑為r=1，
∴sinθ的最大值為 = ，∴ ≤cosθ＜1．
∵ ≤2cos2θ﹣1＜1，即 ≤cos2θ＜1．
= cos2θ= cos2θ．
設cos2θ=t，f（t）= = ，
則f′（t）= ，令f′（t）=0得t=﹣1+ 或t=﹣1﹣ ，
∴f（t）在[ ，1）上單調遞增，
∴f（t）的最大值為f（ ）= ，又f（1）=0，
∴0＜f（t）≤ ．
所以答案是（0， ]．