Question

如圖，過曲線C：y=e^-x上一點P₀（0，1）做曲線C的切線l₀交x軸于Q₁（x₁，0）點，又過Q₁做x軸的垂線交曲線C于P₁（x₁，y₁）點，然后再過P₁（x₁，y₁）做曲線C的切線l₁交x軸于Q₂（x₂，0），又過Q₂做x軸的垂線交曲線C于P₂（x₂，y₂），…，以此類推，過點P_n的切線l_n與x軸相交于點Q_n+1（x_n+1，0），再過點Q_n+1做x軸的垂線交曲線C于點P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及數列{x_n}的通項公式；
（2）設曲線C與切線l_n及垂線P_n+1Q_n+1所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達式；
（3）若數列{S_n}的前n項之和為T_n，求證：（n∈N⁺）．

Answer 1

解：（1）y′=-e^-x，設l_n的斜率為k_n，則
∴l₀的方程為：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），
∴l₁的方程為：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，
一般地，l_n的方程為：，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n
得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）
（2）
=（8分）
（3），
∴要證：，只要證明：，
即只要證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e（10分）
證明；數學歸納法：
（一）當n=1時，顯然（e-1）²＞0?e²＞2e-1?e²＞（e-1）+e成立
（二）假設n=k時，有e^k+1＞（e-1）k+e
當n=k+1時，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0
∴e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
這說明n=k+1時不等式也成立，由（一）（二）知對一切正整數n都成立．
分析：（1）先求出導函數進而求出切線的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出點P_n的切線l_n的方程即可求出及數列{x_n}的通項公式；
（2）直接利用定積分來求S_n的表達式即可；
（3）利用（2）的結論先求出數列{S_n}的前n項之和為T_n，再把所要證明的結論轉化為用數學歸納法證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可
點評：一般在作數列與函數的綜合題時，多用到數學歸納法的應用，所以要把這幾個知識點掌握好．