Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，過左焦點的直線交橢圓于、兩點（異于、兩點），當直線垂直于軸時，四邊形的面積為6．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線、的交點為；試問的橫坐標是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）是為定值，的橫坐標為定值

【解析】

（1）根據“直線垂直于軸時，四邊形的面積為6”列方程，由此求得，結合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，化簡后寫出根與系數關系.求得直線的方程，并求得兩直線交點的橫坐標，結合根與系數關系進行化簡，求得的橫坐標為定值.

（1）依題意可知，解得，即；而，即，結合解得，，因此橢圓方程為

（2）由題意得，左焦點，設直線的方程為：，，．

由消去并整理得，∴，．

直線的方程為：，直線的方程為：．

聯系方程，解得，又因為．

所以．所以的橫坐標為定值．